lunes, 28 de octubre de 2013

Cómo nos engañan los mapas, ¿o no?

En 1827 Gauss enunció un teorema, al que llamó egregium (del latín destacable) de esta manera:
Si una superficie curva se desarrolla sobre cualquier otra superficie, la medida de la curvatura1 en cada punto permanece inalterada.
En virtud de este teorema, solo las superficies de curvatura gaussiana nula pueden transformarse en un plano sin que al hacerlo se vea alterada alguna de estas propiedades métricas:  ángulos, distancias o superficies.

Escribo el párrafo anterior para poner de manifiesto la imposibilidad de transformar una esfera, cuya curvatura es r-2, en un plano, y por añadidura lo absurdo de la pregunta: ¿Qué proyección representa mejor la realidad?, puesto que ninguna proyección puede representar la realidad.

Con estas limitaciones los matemáticos a la hora de hacer una representación tienen que elegir entre si deciden conservar alguna de estas propiedades métricas, lo que conlleva que el aumento de las distorsiones en las otras y, en consecuencia, en la deformación del mapa2 o bien buscar un compromiso: que no se conserve ninguna, pero que tampoco se me vayan de madre y procurar obtener un mapa no muy distorsionado.

¿Y cuáles son las superficies de curvatura gaussiana nula? Pues además del propio plano, el cilindro y el cono, lo que da lugar a los tres tipos de proyecciones cartográficas básicas: acimutales (si nos basamos en un plano), cilíndricas (en un cilindro) y cónicas (en un cono).

Fijémonos en las primeras. Básicamente se obtienen al situar un plano tangente a la esfera en un punto y proyectando3 la esfera terrestre en dicho plano desde un punto, interior o exterior, a la Tierra.


Naturalmente tienen como inconveniente en que según nos alejamos del punto de tangencia, las deformaciones aumentan enormemente, no siendo posible, por ejemplo representar algunos puntos.




Una solución razonable sería circunscribir un cubo a la esfera, proyectar sobre cada una de sus caras y desarrollar el cubo. Lo que daría lugar a algo parecido a esto:



Naturalmente, quien dice un cubo, puede decir otro poliedro, y así obtenemos toda una familia de proyecciones denominadas proyecciones poliédricas.

Hay otra cosa a tener en consideración y es que dado que el número de posibles proyecciones cartográficas es infinito, hay una regla no escrita que dice que cuando uno inventa alguna proyección debe procurar que, al menos, sirva para algo4, de manera que casi todas estas proyecciones no son más que meras curiosidades, y de hecho de las pocas que se salvan es la proyección de Fuller o mapa Dymaxion,



Dicha proyección se basa en un icosaedro, y según despleguemos sus caras triangulares podemos obtener la totalidad de las masas de tierra de forma contigua, lo que permite visualizar fácilmente las rutas de migración terrestre. Naturalmente, desarrollando el icosaedro de otra forma, podemos obtener una gran masa de agua rodeada de tierra y estudiar las corrientes marinas.



Además tiene como peculiaridad de no hay una dirección que vaya arriba. A los mapas que usamos habitualmente, con el norte arriba y el sur abajo, se les ha tachado, en según que círculos, de colonialistas por fomentar la supremacía del norte respecto al sur. Para luchar contra esta visión sesgada y colonialista del mundo recientemente se han publicado mapas con el sur arriba, como la proyección de Hobo-Dyer



Perdón, ¿he dicho "recientemente"?



Mappa Mundi del cartógrafo francés Nicholas Desliens, publicado en 1566, que muestra el mundo al revés.

¡Con lo fácil que hubiese sido todo si la Tierra hubiese tenido esta forma!



¡¡¡ GRAVEDAD, YO TE MALDIGO !!!

1 En la actualidad a esta curvatura se le conoce con el nombre de curvatura gaussiana
2 Por ejemplo la proyección de Mercator, conserva las formas, pero a costa de aumentar las superficies según nos alejamos del Ecuador.
3 Esta, realmente, es una clase particular de las proyecciones acimutales, que se denominan perspectivas.
4 Esta es una de las críticas que sufrió la proyección de Peters: no solo era idéntica a una ya existente (proyección de Gall), sino que además la proyección de Lambert del siglo XVIII, tenía las mismas propiedades mágicas que la suya.





Para saber más:

Curso de Introducción a las TIG

Página de Proyecciones Cartográficas de Carlos A. Furuti. (En inglés)

lunes, 21 de octubre de 2013

¿Los mapas también nos engañan? A vueltas con la proyección de Peters

El profesor Juan López Torres publica esta entrada, "Los mapas también nos engañan", en su blog, donde suelta la siguiente perla:
La mayoría de la gente no sabe que los mapas que utilizamos habitualmente están diseñados para agrandar artificialmente el espacio que corresponde a los países más poderosos y para situarlos “por encima” de los demás. Aquí dejo una secuencia de la serie El ala oeste de la Casa Blanca que lo explica muy bien. Y para más información recomiendo ir a esta web sobre el mapa de Peter.

PD. Me recomiendan tener en cuenta también esta otra versión: La verdad sobre el mapa de Peters.

Como el comentario que he hecho al mismo me ha quedado bastante extenso, he decido darle un pequeño retoque y publicarlo como una entrada propia. Vaya por delante que nada de lo que aquí cuento pretende ser original y se viene diciendo en distintos foros desde 1976.


Y es que al igual que la España de Joselito y Belmonte o del Real Madrid - Barcelona, el mundo de la cartografía se divide en dos bloques antagónicos e irreconciliables. Por un lado están los que apoyan la proyección de Peters y por el otro, los que saben de cartografía.



Tenemos que partir de la base de que al proyectar una esfera sobre un plano solo se pueden conservar (salvo en algunos puntos o líneas determinadas denominadas automecoicas) ángulos (formas), distancias o superficies. Una y solo una de esas propiedades. Pretender conservar dos de estas magnitudes es imposible. Tan imposible como como hallar dos números pares cuya suma sea impar.

Las proyecciones que conservan los ángulos y, en consecuencia, las formas, proyecciones conformes,  tienen como inconveniente que distorsionan las áreas. Por contra, las proyecciones que conservan las áreas,  proyecciones equivalentes, tienen como inconveniente que distorsionan las formas. Compatibilizar ambas propiedades es, repito, imposible.


¿Qué pasa con la proyección de Mercator? Mercator diseñó hacia 1569, una proyección para ser utilizada en la navegación, y como para navegar lo que nos interesa es poder trazar rumbos (ángulos) creó una proyección que conserve los ángulos (conforme), lo que conlleva que distorsione las áreas (y mucho). De hecho su título Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigatium Emendate deja pocas dudas al respecto. Plantearse que se diseñó para agrandar artificialmente el espacio que corresponde a los países más poderosos y para situarlos “por encima” de los demás es, cuando menos, un disparate del quince. Entre otras cosas porque en el siglo XVI el país más avanzado y poderoso del mundo era China y, por entonces, los Estados Unidos ni estaban ni se les esperaba.


La comparación que hace Peters de ambas proyecciones es todo un monumento a la manipulación. De entrada la representación de la proyección de Mercator la hace entre los 60º S y los casi 90ºN. (En ninguna proyección cilíndrica pueden representarse los polos), mientras que la suya la representa entre los casi 90º S y los casi 90ºN. En consecuencia, y como es lógico, el ecuador en la primera no parte el mapa por la mitad y en la segunda sí.


¿Por qué hace esto Peters? Sencillo, si representa la proyección de Mercator entre los 90º S y los 90º N (permítanme que me olvide de los casi), toda su argumentación se viene abajo como un castillo de naipes. De hecho si lo hacemos así: 

podemos comparar Ásia (44,6 millones de km2) con la Antártida (14 millones de km2) y llegar a la conclusión de que Mercator era, realmente, un pingüino disfrazado ;-). Además en este caso el ecuador yace justo en el medio. Naturalmente las dos terceras partes de la masa continental siguen estando en el hemisferio norte; pero de eso no tiene la culpa ni Mercator, ni su proyección.

¿Favorece la proyección de Mercator a los países del hemisferio norte frente a los del hemisferio sur? La respuesta es un claro y rotundo NO. El aumento de tamaño es proporcional al cuadrado de la secante de la latitud, 1/ cos²(latitud), de manera que la deformación del área a 40º de latitud norte es exactamente la misma que a 40º de latitud sur.


¿Y que pasa con la proyección de Peters? Ya he dicho que desde el primer momento, allá por 1976, los cartógrafos de todo el mundo señalaron que los argumentos de Peters no son más que una serie de demagógicas medias verdades encadenadas una detrás de otra. De entrada la proyección de Peters es virtualmente idéntica a la proyección de Gall, descrita en 1855 por el clérigo escocés James Gall y, salvo la de la equivalencia, sus pretendidas bondades son compartidas por todas las proyecciones cilíndricas, Mercator incluida. De hecho, la proyección cilíndrica equivalente de Lambert (¡¡ realizada en 1772 !!) no solo tiene todas las propiedades de la proyección de Peters, si no que además las deformaciones son menores. Precisamente la proyección de Gall pasó inadvertida en su momento porque, como diría un castizo para semejante viaje, no necesitábamos estas alforjas.

¿Dónde radica, entonces, el éxito de Peters?. Pues si repasamos la biografía de Peters lo entenderemos. Peters no era cartógrafo. La tesis del Dr. Peters (‘Der Film als Mittel der öffentlichen Führung', El cine como medio de liderazgo público Berlín, 1945), y que trataba del uso de la propaganda en política nos da una pista al respecto. Sabía que cualquier cosa, por bodrio que fuese, que llevase la etiqueta antiimperialista vendía, y por lo visto, sigue vendiendo.

Lo que da mucha pena es que todo esto que, repito, ya se sabe desde hace más de 30 años se siga vendiendo en ámbitos académicos, donde se supone que hay una mentalidad crítica y científica, y uno tenga que encontrarse con defensores de esta proyección a partir del principio de que los mapas se diseñan para agrandar artificialmente el espacio que corresponde a los países más poderosos y para situarlos “por encima” de los demás.

Para terminar, si a alguien le interesa como manipular y mentir con los mapas, le recomiendo el magnífico libro de Mark Monmonier How to lie with maps.


Más referencias:


La proyección de Peters… o cómo vender moto

Lo que las proyecciones dicen de ti